Математический маятник – это материальная точка массой m (шарик), подвешенная на тонкой нити длиной l. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то после отклонения шарика из положения равновесия маятник совершает незатухающие колебания под действием силы тяжести P=mg и силы натяжения T нити. Из 2-го закона Ньютона в проекции на касательную к траектории шарика (рис. 9.1) получается дифференциальное уравнение движения математического маятника как одномерного осциллятора:
Формула 9.1
Здесь s = lα – дуговая координата шарика в естественном способе описания движения, для малых углов sinα ≃ s / l; касательное ускорение aτ=dυ/dt=d2s/dt2 ; для краткой записи дифференциального уравнения двумя точками обозначена вторая производная от s по времени t.
Решение дифференциального уравнения (9.1) для осциллятора описывает незатухающие гармонические колебания:
Формула 9.2
где А – амплитуда колебаний; ω0=2πν0 – собственная циклическая частота; v0=1/T0мат; T0мат – период собственных колебаний математического маятника; φ=ωt+φ0 – фаза колебаний; φ0 – начальная фаза.
Физическим маятником маятником называется твердое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения, которая не проходит через его центр тяжести С (ось Ox перпендикулярна плоскости рис. 9.2). Воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения маятника (см. лаб. раб. № 6), движущегося под действием силы тяжести P=mg и реакции R0 цилиндрического шарнира О (силами сопротивления пренебрегаем). Рассчитав моменты этих сил относительно оси Ох, получим
Формула 9.3
Ix – осевой момент инерции маятника; ε – угловое ускорение; ω = dα / dt – угловая скорость.
Для малых углов sinα ≃ α (в радианах) и уравнение (9.3) за-пишем в виде дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ε=d2α/dt2≡$$\overset{..}α$$:
Формула 9.4
Его решение определяет незатухающие колебания физического маятника:
Формула 9.5
Период собственных колебаний физического маятника
Формула 9.6
По определению приведенная длина lпр физического маятника равна длине l такого математического маятника, который совершает колебания с циклической частотой ω0мат, равной циклической частоте ω0физ физического маятника. Его момент инерции Ix=ICx*+ml02 (теорема Штейнера), т. е.
Формула 9.7
Если маятник закрепить в точке O1 на расстоянии lпр от точки О, создав оборотный маятник, то окажется, что период колебаний относительно точки O1 будет равен периоду колебаний относительно точки О. Точка O1 называется центром колебаний оборотного маятника.
Общий вид установки изображен на рис. 9.3. На вертикальной стойке закреплены верхний 1 и нижний 2 кронштейны.
На кронштейне 1, который может поворачиваться вокруг вер-тикальной оси, имеется опорная площадка 4 для подвешивания физического маятника и ворот 3, предназначенный для регулиро-вания длины l математического маятника, измеряемой по шкале на стойке. Нижний кронштейн 2 с фотоэлектрическим датчиком 5 может перемещаться вдоль стойки и фиксироваться на задан-ной высоте. Физический маятник состоит из стального стержня, на котором закреплены опорные призмы 6, повернутые лезвиями (опорными ребрами) навстречу друг другу, и две чечевицы (верхняя – 7, нижняя – 8). На стержне через 1 см сделаны кольцевые выточки, предназначенные для надежного крепления призм и чечевиц сто-порными винтами. Время и число колебаний измеряются с помо-щью секундомера 9. Подставка 10 используется для определения положения центра масс С маятника.
Измерив период T0 математического маятника длиной l, можно найти ускорение свободного падения косвенным способом, т. е.
Формула 9.8
Для физического маятника массой m, который совершает ко-лебания относительно горизонтальной оси х, используем формулу (9.6) для периода его незатухающих колебаний:
Формула 9.9
где lпр=Ix/(ml0) – приведенная длина физического маятника (см. формулу (9.7)); Ix – осевой момент инерции маятника относительно оси х; l0 – расстояние от его центра масс С до оси х (рис. 9.2).
Из формулы (9.7) следует, что с учетом теоремы Штейнера приведенная длина
Формула 9.10
где ICx* – осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С маятника.
1. Подготовьте табл. 9.1 для занесения и обработки результатов измерений для физического маятника.
2. В начале опытов лезвие опорной призмы 6 (рис. 9.3) должно быть закреплено на расстоянии 5–7 см от верхнего конца стержня, а центр верхней чечевицы 7 – на расстоянии, меньшем или равном 10 см от лезвия верхней опорной призмы. Нижнюю чечевицу 8 закрепите на расстоянии b = (3 + n) см (n – номер Вашего звена в подгруппе) от нижнего конца стержня. Призму и чечевицы надо закрепить так, чтобы острие стопорных винтов попадало в кольцевую выточку на стальном стержне.
3. Подвесьте маятник верхней призмой 6 на опорную площадку 4 верхнего кронштейна 1. Нижний кронштейн 2 с фотоэлектрическим датчиком 5 закрепите так, чтобы нижний конец стержня перекрыл световой поток фотодатчика. Вставьте вилку шнура питания установки в розетку сети и нажмите кнопку «СЕТЬ».
4. Выберите число колебаний N ≥ 20. Отклоните маятник на 5–6°, нажмите кнопку «СБРОС» и отпустите маятник. Автоматически начнется отсчет времени t и числа коле-баний N. После (N–1)-го колебания нажмите кнопку «СТОП» и подождите, пока маятник выполнит еще одно колебание, прежде чем отсчет времени и числа колебаний прекратится.
5. Пункт 4 повторите еще три раза при других значениях числа N.
6. С помощью подставки 10 определите положение центра масс С физического маятника и измерьте расстояние l0 от точки С до точки подвеса О маятника (рис. 9.4), а также расстояния r1, r2 от центров чечевиц до точки С и расстояние d между точками С и С' (С' – центр масс стержня).
7. Найдите периоды колебаний Ti=ti/Ni для всех опытов и их среднее значение $$\overline{T_{физ}}$$ Затем по формуле (9.9) рассчитайте приведенную длину l$$_{пр}{^{эксп}}$$, используя значение g=9,81 м/с2. Из формулы (9.10) найдите экспериментальное значение осевого момента инерции l$$_{Cx*}{^{эксп}}$$ физического маятника (m=mст+2mчеч).
8. Расположите лезвия нижней призмы 6 на расстоянии l$$_{пр}{^{эксп}}$$ от лезвия верхней призмы и, подвесив маятник на нижней призме, выполните пункт 4. Сравните периоды колебаний оборотного маятника на верхней и нижней призмах (далее перейдите к выполнению пункта 12, а расчеты в соответствии с пунктами 9–11 проведите после окончания экспериментов).
9. Случайную погрешность ΔT определите по методике прямых измерений при доверительной вероятности р = 0,95, а абсолютную погрешность Δlпр=lпрε$$_{l_{пр}}$$ – по методике косвенных измерений. Для этого, используя формулу (9.9) для l$$_{пр}$$, получите самостоятельно выражение для относительной погрешности ε$$_{l_{пр}}$$
Формула 9.11
10. По формуле I$$_{Cx*}{^{эксп}}$$=Iст+I$$_{1}{^{чеч}}$$+I$$_{2}{^{чеч}}$$ (свойство аддитивности) вычислите теоретическое значение момента инерции маятника, где момент инерции чечевиц (как материальных точек) рассчитайте по формуле Iчеч=mчечr2, а момент инерции стержня рассчитайте по теореме Штейнера: Iст=mстl2/12+mстd2. Используя I$$_{Cx*}{^{эксп}}$$, найдите l$$_{пр}{^{теор}}$$ по формуле (9.10).
11. Сравните экспериментально измеренные и теоретически рассчитанные значения l$$_{пр}$$ и I$$_{Cx*}$$.
12. Подготовьте табл. 9.2 для занесения и обработки результатов измерений для математического маятника.
13. Поверните нижний кронштейн 2 так, чтобы математиче-ский маятник (шарик) находился над фотодатчиком 5. Установите и закрепите его так, чтобы осевая линия фотодатчика находилась на высоте, отвечающей длине l математического маятника, равной приведенной длине l$$_{пр}{^{эксп}}$$ физического маятника ( l=l$$_{пр}{^{эксп}}$$ из табл. 9.1). Далее, вращая ворот 3, подберите длину l математического маятника так, чтобы кольцевая линия на шарике совпала с осевой линией фотодатчика, нанесенной на кронштейне 2.
14. Выполните пункты 4, 5 для математического маятника. Найдите периоды колебаний Ti=ti/Ni математического маятника, их среднее значение $$\overline{T_{мат}}$$ и сравните с периодом физического маятника.
15. По формуле (9.8), используя $$\overline{T_{мат}}$$, вычислите ускорение свободного падения g. Найдите абсолютную погрешность Δg=gεg, где относительная погрешность косвенного измерения ускорения g (см. выражение (9.8)) рассчитывается по формуле
Формула 9.13
где Δπ=0,005; Δl – абсолютная погрешность измерения длины математического маятника, равная половине цены деления линейки (шкалы на стойке); ΔT – случайная абсолютная погрешность для периода колебаний, определите ее, используя методику прямых измерений при доверительной вероятности р = 0,95.
16. Подготовьте выводы по выполненной лабораторной работе.
