Решение

Угловая скорость ω вращения вала связана с линейной υ скоростью точек обода вала соотношением $1.15$

Формула 1

Поскольку нить нерастяжима и не проскальзывает по ободу, то скорости точек поверхности вала в каждый момент времени по модулю равны скорости груза:

Формула 2

Из $1$ с использованием $2$ найдем

Формула 3

Угловое ускорение определим по формуле $1.14$:

Формула 4

Решение

Силы, действующие на каплю, показаны на рис. 1.2, где N – сила реакции опоры, mg – сила тяжести.

Так как поверхность сферы гладкая, то силой трения между телом и сферой пренебрегаем. Второй закон Ньютона $1.20$ для движущегося тела имеет вид:

Формула 1

Запишем уравнение $1$ в проекциях на касательную τ и нормаль n к траектории

Формула 2 и 3

где a_τ и a_n – тангенциальное и нормальное $1.9$ ускорения:

Формула 4

Преобразуем уравнение $2$ к виду удобному для интегрирования. Воспользуемся тем, что скорость тела υ = ds/dt, где ds = Rdφ – путь тела, пройденный за промежуток времени dt. Отсюда, dt = Rdφ/υ и уравнение $2$ с учетом $4$ примет вид

Формула 5

Интегрируя левую часть этого уравнения от 0 до υ, а правую от 0 до φ, найдем

Формула 6

В момент отрыва от поверхности сферы сила реакции N = 0, поэтому уравнение $3$ с учетом формул $4$ и $6$ примет вид

Формула 7

где υ и φ соответствуют точке отрыва.

Исключив cosφ из уравнений $6$ и $7$, найдем скорость капли в момент отрыва

Формула 8

Решение

Молекулу NO₂ можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой

Формула 1

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 1.3, совместив начало координат с центром масс С молекулы, а ось z направив перпендикулярно плоскости чертежа.

Для определения момента инерции I_Cz воспользуемся теоремой Штейнера $1.29$, записав ее для данной задачи в виде:

Формула 2

где I_z* − момент инерции относительно заданной оси z^*, параллельной оси z и проходящей через атом азота $точка О на рис. 1.3$.

Момент инерции I_z* находим как сумму моментов инерции двух материальных точек $атомов кислорода$:

Формула 3

Расстояние d между осями z и z^* равно координате x_C центра масс С системы и может быть выражено по известной фор-муле для центра масс С системы x_c= $${\sum_{j=1}^n}$$ m_jx_j/ $${\sum_{j=1}^n}$$ m_j как

Формула 4

или, учитывая, что x₁ = r cos$α/2$ и x₂=0,

Формула 5

Подставив в формулу $2$ значения I_z*, m, d соответственно из выражений $3$, $1$, $5$ получим

Формула 6

или после преобразований

Формула 7

учетом, что 1 а.е.м. = 1,66•10^-27 кг, подставив значения m₁, m₂,r и α в формулу $7$ вычислим I_Cz*:

Решение

Лопасть турбины представим в форме стержня. Удар частицы следует рассматривать как неупругий: после удара частица и точка С лопасти будут двигаться с одинаковыми скоростями $рис. 1.4$.

Рассмотрим явления, происходящие при ударе.

Сначала частица, ударившись о лопасть, за ничтожно малый промежуток времени Δt приводит ее в движение $рис. 1.4$ с некоторой угловой скоростью ω и сообщает ей некоторую кинетическую энергию $см. уравнение (1.46$)

Формула 1

где I₀ – момент инерции лопасти относительно оси O вращения.

Затем лопасть поворачивается на некоторый угол φ и останавливается, причем ее центр тяжести С поднимается на высоту

Формула 2

В отклоненном положении с учетом формулы $1.50$ потенциаль-ная энергия лопасти

Формула 3

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии $сопротивлением воздуха и трением в шарнире О пренебрегаем$.

Поэтому, приравняв правые части равенства $1$ и $3$, получим

Формула 4

Из уравнения $4$ следует, что

Формула 5

Выражение для момента инерции лопасти, получим на основа-нии теоремы Штейнера $1.29$ и формулы $1.33$:

Формула 6

Подставив $6$ в $5$ получим

Формула 7

Чтобы из выражения $7$ найти угол φ, необходимо предварительно определить числовое значение угловой скорости ω. Учтем, что в момент удара на частицу и на лопасть действуют сила реакции шарнира R₀ и сила тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения $рис. 1.4$. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому будет выполняться закон сохранения момента импульса $см. уравнение (1.39$).

В начальный момент удара угловая скорость лопасти ω₀=0, и поэтому согласно уравнению $1.26$ момент импульса лопасти L₀₁=Iω₀=0.

Начальный момент импульса частицы $см. формулу (1.27$)

Формула 8

где r = l/2 – расстояние от точки C попадания частицы до оси вращения $точка O$.

После удара лопасть имела угловую скорость ω, а частица – линейную скорость υ, равную линейной скорости точки C лопасти.

Т.к. υ = ωr $1.15$, то конечный момент импульса частицы

Формула 9

Применив закон сохранения момента импульса, получим уравнение

Формула 10

откуда с учетом формулы $6$

Формула 11

Подставив числовые значения в уравнения $11$ и $7$, найдем:

1) Решение

Поток жидкости через поперечное сечение трубы площадью S связан со средней скоростью соотношением V_сек = υ_ср × S. Отсюда υ_ср = V_сек/S = V_сек/πR². Подставив числовые значения, получим υ_ср = 6,1 см/с. Установим связь потока жидкости V_сек с максимальной скоростью υ₀.

Поток воды dV_сек через кольцевой элемент ΔS поперечного сечения трубы с внутренним радиусом r и наружным r+dr равен

Формула 1

Поток воды через кольцевые элементы $через сечение трубы$ найдем интегрированием $1$:

Формула 2

Из уравнения $2$ следует, что υ₀ = 2V_сек / πR² = 2υ_ср = 12,2 см/с.

Решение

Уровень звукового давления L_р связан с амплитудой звукового давления p соотношением $1.79$:

Формула 1

Подставляя числовые значения в формулу $1$, получим

Следовательно, амплитуда звукового давления p = p₀×10² = 2×10² Па.

Т.к. фон – это уровень громкости звука, для которого уровень звукового давления с ним по уровню громкости звука частоты 10³ Гц равен 1 дБ, то с учетом соотношения $1.82$:

Формула 2

при L_р = 40 дБ получим L_I = 40 фон.

Тогда из формулы $2$ находим, что lg $$I \over I_0$$ = 4 или $$I \over I_0$$ = 10⁴. Отсюда сила звука I = I₀×10⁴ = 10^-8Вт/м².