На вал радиуса R = 0,2 м, закрепленный на оси, намотана нить, на конце которой висит алюминиевая пластинка, опускающаяся в щелочной раствор для анодирования (рис. 1.1). Закон движения груза имеет вид x = 0,5 + 0,2t2, где координата x тела выражена в метрах, а время t в секундах. Определить угловую скорость ω вала в момент времени t = 5 с, а также его угловое ускорение ε.
Дано
R = 0,2 м
x = 0,5 + 0,2t2
t = 5 с
Найти
ω, ε
Решение
Угловая скорость ω вращения вала связана с линейной υ скоростью точек обода вала соотношением (1.15)
Формула 1
Поскольку нить нерастяжима и не проскальзывает по ободу, то скорости точек поверхности вала в каждый момент времени по модулю равны скорости груза:
Формула 2
Из (1) с использованием (2) найдем
Формула 3
Угловое ускорение определим по формуле (1.14):
Формула 4
Капля 3% раствора NaCl массой М начинает соскальзывать с вершины колбы в виде гладкой сферы радиуса R = 0,8 м (рис. 1.2). Считая каплю материальной точкой, определить скорость капли в момент отрыва его от поверхности сферы.
Дано
R = 0,8 м
Найти
υ
Решение
Силы, действующие на каплю, показаны на рис. 1.2, где N – сила реакции опоры, mg – сила тяжести.
Так как поверхность сферы гладкая, то силой трения между телом и сферой пренебрегаем. Второй закон Ньютона (1.20) для движущегося тела имеет вид:
Формула 1
Запишем уравнение (1) в проекциях на касательную τ и нормаль n к траектории
Формула 2 и 3
где aτ и an – тангенциальное и нормальное (1.9) ускорения:
Формула 4
Преобразуем уравнение (2) к виду удобному для интегрирования. Воспользуемся тем, что скорость тела υ = ds/dt, где ds = Rdφ – путь тела, пройденный за промежуток времени dt. Отсюда, dt = Rdφ/υ и уравнение (2) с учетом (4) примет вид
Формула 5
Интегрируя левую часть этого уравнения от 0 до υ, а правую от 0 до φ, найдем
Формула 6
В момент отрыва от поверхности сферы сила реакции N = 0, поэтому уравнение (3) с учетом формул (4) и (6) примет вид
Формула 7
где υ и φ соответствуют точке отрыва.
Исключив cosφ из уравнений (6) и (7), найдем скорость капли в момент отрыва
Формула 8
Определить момент инерции ICz молекулы NO2, относительно оси z (рис. 1.3), проходящей через центр масс С молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние молекулы NO2 r = 0,118 нм, валентный угол α = 140°. Масса атома кислорода m1 = 16 а.е.м., масса атома азота m2 = 14 а.е.м.
Дано
r = 0,118 нм
m1 = 16 а.е.м.
m2 = 14 а.е.м.
α = 140°
Найти
ICz
Решение
Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой
Формула 1
Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 1.3, совместив начало координат с центром масс С молекулы, а ось z направив перпендикулярно плоскости чертежа.
Для определения момента инерции ICz воспользуемся теоремой Штейнера (1.29), записав ее для данной задачи в виде:
Формула 2
где Iz* − момент инерции относительно заданной оси z*, параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 1.3).
Момент инерции Iz* находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):
Формула 3
Расстояние d между осями z и z* равно координате xC центра масс С системы и может быть выражено по известной фор-муле для центра масс С системы x_c=$${\sum_{j=1}^n}$$mjxj/$${\sum_{j=1}^n}$$mj как
Формула 4
или, учитывая, что x1 = r cos(α/2) и x2=0,
Формула 5
Подставив в формулу (2) значения Iz*, m, d соответственно из выражений (3), (1), (5) получим
Формула 6
или после преобразований
Формула 7
учетом, что 1 а.е.м. = 1,66•10-27 кг, подставив значения m1, m2,r и α в формулу (7) вычислим ICz*:
Лопасть длиной l = 1,5 м и массой M = 10 кг центробежного лопастного смесителя может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через верхний конец лопасти (точка О на рис. 1.4). В середину лопасти ударяет частица сыпучего материала массой m = 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью υ0 = 500 м/с, и застревает в лопасти. Найти, на какой максимальный угол отклониться лопасть после удара в нее частицы.
Дано
l = 1,5 м
M = 10 кг
m = 10 г
υ0 = 500 м/с
Найти
φ
Решение
Лопасть турбины представим в форме стержня. Удар частицы следует рассматривать как неупругий: после удара частица и точка С лопасти будут двигаться с одинаковыми скоростями (рис. 1.4).
Рассмотрим явления, происходящие при ударе.
Сначала частица, ударившись о лопасть, за ничтожно малый промежуток времени Δt приводит ее в движение (рис. 1.4) с некоторой угловой скоростью ω и сообщает ей некоторую кинетическую энергию (см. уравнение (1.46))
Формула 1
где I0 – момент инерции лопасти относительно оси O вращения.
Затем лопасть поворачивается на некоторый угол φ и останавливается, причем ее центр тяжести С поднимается на высоту
Формула 2
В отклоненном положении с учетом формулы (1.50) потенциаль-ная энергия лопасти
Формула 3
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии (сопротивлением воздуха и трением в шарнире О пренебрегаем).
Поэтому, приравняв правые части равенства (1) и (3), получим
Формула 4
Из уравнения (4) следует, что
Формула 5
Выражение для момента инерции лопасти, получим на основа-нии теоремы Штейнера (1.29) и формулы (1.33):
Формула 6
Подставив (6) в (5) получим
Формула 7
Чтобы из выражения (7) найти угол φ, необходимо предварительно определить числовое значение угловой скорости ω. Учтем, что в момент удара на частицу и на лопасть действуют сила реакции шарнира R0 и сила тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения (рис. 1.4). Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому будет выполняться закон сохранения момента импульса (см. уравнение (1.39)).
В начальный момент удара угловая скорость лопасти ω0=0, и поэтому согласно уравнению (1.26) момент импульса лопасти L01=Iω0=0.
Начальный момент импульса частицы (см. формулу (1.27))
Формула 8
где r = l/2 – расстояние от точки C попадания частицы до оси вращения (точка O).
После удара лопасть имела угловую скорость ω, а частица – линейную скорость υ, равную линейной скорости точки C лопасти.
Т.к. υ = ωr (1.15), то конечный момент импульса частицы
Формула 9
Применив закон сохранения момента импульса, получим уравнение
Формула 10
откуда с учетом формулы (6)
Формула 11
Подставив числовые значения в уравнения (11) и (7), найдем:
По горизонтальной прямолинейной трубе радиусом R = 12,5 мм течет вода (рис. 1.5). Поток воды Vсек = = 3 × 10-5 м3/с. 1) Определить среднюю скорость υср движения и максимальную скорость υ0, учитывая, что скорость ламинарного течения вязкой жидкости зависит от расстояния r от оси трубы по закону υ = υ0( 1 - r2/R2). 2) Проверить справедливость предположения о ламинарном течении жидкости, считая, что ламинарность движения жидкости в цилиндри-ческой трубе сохраняется при числе Рейнольдса Re ≤ 3000. Коэффициент вязкости воды η = 10-3Па×с.
Дано
R = 12,5×10-3 м
Vсек = 3 × 10-5 м3/с
η = 10-3Па×с
ρ = 103 кг/м3
Найти
υср, υ0, Re
1) Решение
Поток жидкости через поперечное сечение трубы площадью S связан со средней скоростью соотношением Vсек = υср × S. Отсюда υср = Vсек/S = Vсек/πR2. Подставив числовые значения, получим υср = 6,1 см/с. Установим связь потока жидкости Vсек с максимальной скоростью υ0.
Поток воды dVсек через кольцевой элемент ΔS поперечного сечения трубы с внутренним радиусом r и наружным r+dr равен
Формула 1
Поток воды через кольцевые элементы (через сечение трубы) найдем интегрированием (1):
Формула 2
Из уравнения (2) следует, что υ0 = 2Vсек / πR2 = 2υср = 12,2 см/с.
2) Решение
Найдем число Рейнольдса по формуле (1.70):
Полученное число Рейнольдса Re < 3000. Следовательно, течение жидкости ламинарное.
Уровень звукового давления Lр равен 40 дБ. Найти амплитуду звукового давления p и силу звука I. При нулевом уровне громкости амплитуда звукового давления p0 = 2×10-5Па. Порог слышимости звука I0 = 10-12Вт/м2.
Дано
Lр = 40 дБ
p0 = 2×10-5Па
I0 = 10-12Вт/м2
Найти
p, I
Решение
Уровень звукового давления Lр связан с амплитудой звукового давления p соотношением (1.79):
Формула 1
Подставляя числовые значения в формулу (1), получим
Следовательно, амплитуда звукового давления p = p0×102 = 2×102 Па.
Т.к. фон – это уровень громкости звука, для которого уровень звукового давления с ним по уровню громкости звука частоты 103 Гц равен 1 дБ, то с учетом соотношения (1.82):
Формула 2
при Lр = 40 дБ получим LI = 40 фон.
Тогда из формулы (2) находим, что lg$$I \over I_0$$= 4 или $$I \over I_0$$= 104. Отсюда сила звука I = I0×104 = 10-8Вт/м2.
Определите собственную длину стержня l0, если в лабораторной системе отсчета его скорость υ = 0,6 с, длина l = 1 м и угол между ним и направлением движения α = 60°.
Дано
υ = 0,6 с
l = 1 м
α = 60°
Найти
l0
Решение
Длина l стержня в лабораторной K-системе отсчета рис. 1.6
Формула 1
где Δx и Δy – проекции стержня на оси координат
Формула 2
Длина l0 этого же стержня в K'-системе отсчета, связанной со стержнем и движущейся относительно лабораторной K-системы отсчета со скоростью υ стержня,
Формула 3
где Δx0 и Δy0 - проекции стержня на оси координат в K'-системе отсчета.
Принимая во внимание, что продольные размеры (размеры в направлении движения) уменьшаются (см. формулу (1.85)), а поперечные размеры не изменяются, найдем
Формула 4
Отсюда, с учетом (2), получим
Формула 5
Подставляя (5) в (3) найдем собственную длину стержня
Частица находится в возбужденном состоянии (n = 2) в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l c абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < 1). Определите вероятность обнаружения частицы в интервале от l/8 до 3l/8.
Дано
n = 2
$$l \over 8$$ < x < $$3l \over 8$$
Найти
P
Решение
Используя формулу (1.95), вероятность обнаружить частицу в интервале x1 < x < x2 определяется соотношением
Формула 1
где ψ(x) – волновая функция частицы. Согласно (1.98), при n = 2
Формула 2
Принимая во внимание, что x1 = l/8 и x2 = 3l/8, искомая вероятность
Данная вероятность равна площади под графиком |ψ(x)|2 при l/8 < x < 3l/8 на рис. 1.7.
