Тема 1. Кинематика материальной точки и твердого тела
Определить высоту Н, с которой упала капля кислоты из пипетки в щелочной раствор вертикально вниз, с учетом того, что последний сантиметр своего пути она прошла за время t = 0,08 с.
При титровании из бюретки через равные промежутки времени вертикально вниз падают капли соляной кислоты HCl, причем первая падает на поверхность раствора NaOH в тот момент, когда пятая отделяется от конца бюретки. Найти расстояние четвертой капли от конца бюретки в момент падения первой капли в раствор. Считать расстояние Н от конца бюретки до поверхности раствора равным 12 см.
Определить начальную скорость падения капли кислоты с высоты Н = 10 см вертикально вниз из пипетки в щелочной раствор с учетом того, чтобы она упала на t = 0,2 с раньше, чем при свободном падении.
Определить угол φ наклона кюветы по отношению к горизонтальной плоскости, чтобы раствор для его оптического анализа стекал по кювете за минимальное время t.
С самолета, летящего со скоростью υ = 320 км/ч, распыляются пести-циды в виде капель жидкости. Найти радиус кривизны в точке траек-тории капли, в которой она будет через t = 5 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Натрий в виде частицы движется по окружности радиуса R в кристаллизаторе. В момент t = 0 частица натрия находилась в точке О, и далее скорость ее меняется со временем как υτ = αt – βt2, где α и β – положительные постоянные. Найти модуль полного ускорения частицы в момент, когда она снова окажется в точке О.
При опускании в кристаллизатор частица натрия начала двигаться по окружности радиуса R = 5 см с постоянным тангенциальным ускорением, равным aτ = 1,6 м/с2. Чему будут равны нормальное an и полное a ускорения частицы в конце пятой секунды после начала движения. Найти, сколько оборотов сделает частица натрия за это время.
На токарном станке протачивается вал диаметром d = 50 мм. Продольная подача h резца равна 0,4 мм за один оборот. Определить скорость υ резания, если за интервал времени ∆t = 1 мин протачивается участок вала длиной l=10 см.
Барабан центрифуги с пробирками, заполненными раствором медного купороса CuSO4∙5H2O, вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте ν0 = 2000 об/мин. При отключении центрифуги барабан тормозится и вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2. Найти время t, через которое барабан остановится. Определить число N оборотов барабана до его остановки.
Считая, что электрон в атоме молекулы кислорода движется по круговой орбите с линейной скоростью ν, найти угловую скорость ω0 вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение an. Считать радиус орбиты r = 0,45∙10–10 м и линейную скорость ν = 2,7∙106 м/с электрона на этой орбите.
Барабан центрифуги с пробирками, вращаясь равноускоренно, достиг угловой скорости ω1 = 210 рад/с через N1 = 50 оборотов после начала движения. Найти угловое ускорение ε барабана центрифуги.
Тема 2. Динамика материальной точки, поступательного и вращательного движений твердого тела
Автоцистерна с керосином движется с ускорением а = 1,7 м/с2. Найти угол φ, который составляет с горизонтом уровень керосина в цистерне.
В колбе, наполненной щелочным раствором, молекула массой m = 4,65x10–26 кг, летящая со скоростью ν0 = 300 м/с, ударяется о стенку под углом φ = 60° к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы F∆t, полученный стенкой колбы за время удара.
Тележка с контейнером соляной кислоты общей массой m = 30 кг перемещается вверх по наклонной плоскости с углом наклона φ = 30°. Коэффициентом трения тележки μ = 0,05. К тележке параллельно его основанию приложена сила F = 500 Н, которая направлена в сторону движения. Найти ускорение a тележки с контейнером.
К потолку салона автомобиля, движущемся горизонтально с постоянным ускорением a = 3 м/с2, на проволочной нити висит освежитель воздуха в виде бумажного лепестка массой m = 10 г. Лепесток относительно автомобиля неподвижен. Определить силу натяжения нити Т и угол φ ее отклонения от вертикали.
Шофер автоцистерны с керосином резко затормозил при скорости ν0 = 70 км/ч. Найти время τ, через которое автомобиль остановится, если коэффициент трения μ = 0,06. Определить тормозной путь l автомобиля.
Пробирка с раствором вращается с частотой n =16 с–1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Найти угол φ наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 8 см от оси вращения.
Найти момент инерции I молекулы ДНК относительно ее оси z. Считать молекулу «плотно упакованной» спиралью радиуса R = 6,8∙10–10 м (рис. 1.8). Учесть, что масса молекулы ДНК составляет M = 1,2∙108 а.е.м.
Рисунок 1.8
Определить моменты инерции Ix, Iy, Iz трехатомных молекул, имеющих общую формулу типа АВ2, относительно осей х, у, z (рис. 1.9), проходящих через центр инерции С молекулы (ось z перпендикулярна плоскости ху). Межъядерное расстояние АВ обозначено d, валентный угол α. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) H2O(d = 0,097 нм, α = 104°30'); 2) SO2 (d = 0,145 нм, α = 124°).
Рисунок 1.9
Двигатель равномерно вращает центрифугу с пробирками медного купороса CuSO4∙5H2O. После отключения двигателя центрифуга делает N1 = 1200 оборотов в течение t = 30 с и останавливается. Момент инерции центрифуги Iz = 1,3 кг∙м2. Принимая, что угловое ускорение центрифуги после отключения двигателя постоянно, определить мощность двигателя при равномерном вращении центрифуги.
Центрифуга с пробирками, момент инерции которой Iz = 1,3 кг∙м2, вращается с угловой скоростью ω0 = 200 рад/с. Найти момент Mz сил торможения, под действием которого центрифуга оста-навливается через время t = 20 c.
Центрифуга массой m = 0,3 кг и длиной l = 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению φ = At +Bt3, где B = 0,2 рад/с3. Определить значение вращающего момента Mz, действующего на центрифугу в момент времени t1 = 2 c.
К ободу колеса радиусом R = 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 H. Найти угловое ускорение ε колеса. Вычислить, через какое время t1 после начала действия силы, колесо будет иметь частоту вращения n1 = 100 об/c. Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.
На барабан массой M = 9 кг намотана нить, на конце которой висит алюминиевая пластинка массой m = 2 кг, опускающаяся в щелочной раствор для анодирования. Cчитая барабан однородным цилиндром, а пластинку материальной точкой, найти ускорение a пластинки. Трением пренебречь.
Тема 3. Работа и энергия. Законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии
В результате химической реакции молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в n = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетические энергии K1 и K2 атомов, если их суммарная кинетическая энергия K = 0,044 нДж..
Нейтрон с кинетической энергией К0 испытывает лобовое столкновение с покоящимся ядром С12 и отскакивает от него после абсолютно упругого соударения в направлении, прямо противоположном начальному направлению своего движения. Определить кинетическую энергию К нейтрона после соударения.
Рисунок 1.10
Считая молекулу ДНК «плотно упакованной» двойной спиралью радиуса R = 6,8∙10–10 м (рис. 1.10), найти время, за которое двойная спираль молекулы ДНК может раскрутиться на две отдельные спирали, если число ее витков N = 1,4∙104, кинетическая энергия вращения молекулы К = 2,3∙10–21 Дж, а масса молекулы составляет M = 1,2∙108 а.е.м..
Определить скорость осаждения покрытия при анодировании пластинки алюминия, если атомы кислорода осаждаются на поверхность алюминия, обладая кинетической энергией К = 1,0∙10–16 Дж, и производят давление на пластинку р = 0,2 Н/м2. Плотность кислорода ρ = 1,43∙10–3 г/см3, масса одного атома кислорода m = 1,33∙10–26 кг.
Для очистки водоема глубиной h = 18 м от ила откачивают воду с помощью насоса, имеющего мотор мощностью N = 4,0 кВт. Найти коэффициент полезного действия η мотора, если известно, что за время t = 7 ч работы насоса из водоема откачан объем воды V = 395 м3.
Для откачки нефти из скважины глубиной h = 475 м поставлен насос мощностью N = 10,0 кВт. Коэффициент полезного действия насоса η = 82%. Определить вес нефти, добытой за время t = 5 ч работы насоса.
Животноводческая ферма, имеющая N1 = 220 голов крупного и N2 = 1100 голов мелкого скота, снабжается водой из водонапорной башни высотой Н = 17 м. Определить работу, которую совершает в сутки насос, подающий воду в эту башню, если суточный расход воды составляет V1 = 61 л на голову крупного скота и V2 = 9 л на голову мелкого. Коэффициент полезного действия двигателя насоса η = 78%.
При нефтедобыче баба копра массой m1 = 520 кг падает на сваю массой m2 = 105 кг со скоростью ν1 = 4,2 м/с. Определить энергию Е1, затрачиваемую на углубление сваи в грунт, и энергию Е2, затрачиваемую на деформацию сваи.
Из ракеты массой М выбрасываются порциями массой m со скоростью ν относительно ракеты продукты сгорания топлива, в состав которых входит нитрометан CH3NO2. Пренебрегая действием сил тяжести и сопротивления воздуха, определить скорость un ракеты после вылета n-ой порции продуктов сгорания топлива.
Вращающийся диск установки масляной сепарации (маслоотделителя), применяемой на первой ванне обезжиривания в туннеле подготовки поверхности, частично погружен в жидкость и удаляет масло с поверхности ванны путем перемещения сгустка масла с центра диска на край и выброса масла в специальный контейнер. Считая диск однородным телом массой M = 8 кг, вращающимся при нахождении сгустка масла в центре диска с частотой ν1 = 100 об/мин вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, а сгусток масла – точечной массой m = 0,2 кг, найти частоту ν2, с которой будет вращаться диск при перемещения сгустка с центра диска на край.
Определить угол φ, на который в процессе анодирования может отклониться алюминиевая деталь массой m = 5 г в форме проволоки длиной l = 10 см, погруженная вертикально в электролит, если атомы кислорода осаждаются на поверхность алюминия, обладая кинетической энергией К = 1,0∙10–16 Дж. Масса одного атома кислорода равна m = 1,33∙10–26 кг. Масса осажденного покрытия составила m = 0,05 г.
Определить скорость, которую приобретает метеорит, падая с высоты h1 = 700 км до плотных слоев атмосферы, расположенных на высоте h2 = 100 км, предполагая, что сопротивлением движению до этой высоты можно пренебречь. Если допустить, что заметное торможение метеорита в результате абляции, т.е. высокотемпературного отщепления атомов с его поверхности под действием налетающих частиц воздуха, началось на высоте h2 = 100 км, определить выделившееся при этом количество теплоты Q, считая, что вся кинетическая энергия К метеорита превратилось в тепло. Масса Земли M = 5,96∙1024 кг, радиус Земли R = 6,37∙106 м, гравитационная постоянная γ = 6,67∙10–11 м3/(кг∙с2).
Тема 4. Колебательное движение
Атом углерода массой m = 1,99∙10–26 кг в молекулярном кристалле колеблется по закону x = 10 cos 200πt, где t выражено в секундах. Найти максимальное значение возвращающей силы Fmax.
В открытую с обоих концов U-образную трубку с площадью поперечного сечения S = 0,45 см2 быстро вливают ртуть массой m = 220 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3.
Определить частоту ν0 гармонических колебаний диска с радиусом R = 20 см относительно горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.
В молекуле азота N2 частота колебаний атомов ω0 = 4,45∙1014 с-1, масса одного атома m = 2,32∙10-26 кг. Найти коэффициент k квазиупругой силы, действующей между атомами.
Определить промежуток времени ∆t после начала колебаний, когда смещение атома углерода в молекулярном кристалле из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если период колебаний T = 1,41∙10–14 с, а начальная фаза α равна нулю.
Написать уравнение гармонического колебания частицы, если ее полная энергия Е = 3∙10-5 Дж, максимальная сила, действующая на частицу, Fмакс = 1,5 мН, период колебаний T = 2 с и начальная фаза α = 60°.
Медный шарик, подвешенный на пружине, совершает вертикальные колебания. Рассчитать изменение периода колебаний Т, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса. Плотность меди ρCu = 8,9∙103 кг/м3, плотность алюминия ρAl = 2,7∙103 кг/м3
Два одинаково направленных колебания с равными частотами имеют амплитуду А1 = 20 и А2 =50 см. Начальная фаза первого колебания α1 равна нулю. Второе колебание опережает первое по фазе на ∆α = 30°. Определить амплитуду А и начальную фазу α результирующего коле-бания, полученного от сложения этих колебаний.
Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний T стержня.
Подвешенная на пружинных весах колба с коллоидным фосфатом кальция общей массой m = 15 г совершает N1 = 8 полных колебаний за время t1 = 10 с в воздушной среде, затем появляется затухание, пропорциональное скорости движения. В результате амплитуда А колебаний уменьшается за N2 = 10 полных колебаний от 0,2 до 0,1 м. Составить уравнение затухающих колебаний тела и определить его период колебаний Т2 при затухании.
За счет отклонения из положения равновесия ареометр в сосуде с водой совершает гармонические колебания с периодом T1 = 1,3 с. Найти период колебаний T2 ареометра в керосине. Плотность воды ρ1 = 1,0•103 кг/м3, плотность керосина ρ2 = 0,80•103 кг/м3.
Тема 5. Гидроаэродинамика
По горизонтальному участку трубки АВ течет раствор NaOH (рис. 1.11). В трубках а и b разность уровней этого раствора ∆h = 10 см. Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти скорость ν течения раствора в трубке.
Рисунок 1.11
Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни, площадь которых S1 = 200 см2 и S2 = 20 см2. На большой поршень положен груз массой m = 60 кг. Найти высоту, на которую поднимется после этого малый поршень. Плотность воды ρ = 1∙103 кг/м3.
Найти среднюю скорость νтечения углекислого газа по трубе, если известно, что за время ∆t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает газ массой m = 0,51 кг. Плотность газа ρ = 7,5 кг/м3, диаметр трубы D = 2 см. Газовую среду считать идеальной и несжимаемой.
В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.
Цилиндрический бак высотой h = 1 м наполнен до краев водой. Площадь S2 поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади S1 поперечного сечения бака. Найти время t, за которое вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака.
В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого η = 1,2 Па∙с. Найти зависимость скорости ν понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости ν при h = 26 см. Плотность касторового масла ρ = 950 кг/м3.
Из опрыскивателя плодовых деревьев выбрасывается струя раствора извести со скоростью ν = 20 м/с. Найти давление p, создаваемое компрессором в баке опрыскивателя. Плотность раствора извести ρ = 1,2∙103 г/см3.
Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненный трансформаторным маслом, плотность которого ρ = 0,9∙103 кг/м3 и динамическая вязкость η = 0,8 Па∙с. Учитывая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re ≤ 0,5 (если при вычислении числа Рейнольдса Re в качестве величины l взять диаметр D шарика), найти предельное значение диаметра D шарика, при котором движение жидкости остается ламинарным.
Ламинарность движения углекислого газа, образовавшегося в результате химической реакции, в цилиндрической трубке сохраняется при числе Рейнольдса Re ≤ 3000 (если при вычислении числа Рейнольдса Re в качестве величины l взять диаметр D трубки). Показать, что если за время ∆t = 30 мин через поперечное сечение трубки диаметром D = 2 см протекает углекислый газ массой m = 0,51 кг, то движение газа ламинарное. Кинематическая вязкость газа ν = 1,33•10–6 м2/с, плотность газа ρ = 7,5 кг/м3.
Вода течет по трубе, причем за секунду через поперечное сечение трубы протекает объем воды Vt = 200 см3/с. Динамическая вязкость воды η = 0,001 Па•с. Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Re ≤ 3000 (если при вычислении числа Рейнольдса Re в качестве величины l взять диаметр D трубы), найти предельное значение диаметра D трубы, при котором движение воды остается ламинарным.
Определить скорость ν движения жировых шариков в молоке при отделении сливок посредством молочного сепаратора, где молоко вращается на расстоянии R = 5 см от оси сепаратора с частотой ν0 = 6000 об/мин. Радиус жировых шариков считать равным r = 1 мкм, плотность жира ρ1 = 0,9 г/см3, плотность обрата ρ2 = 1,0 г/см3, коэффициент внутреннего трения обрата η = 0,011 г/(см∙с)..
Тема 6. Упругие механические волны
Скорость распространения звука в керосине ν = 1329 м/с. Найти коэффициент объемного сжатия k керосина, если плотность керосина ρ = 0,80•103 кг/м3, а объемный модуль упругости керосина Еж = 1275 МПа.
Найти, как изменяются частота ν и длина λ волны звуковых волн при переходе из воздуха в воду. Скорость звуковых волн в воздухе ν1 = 340 м/с, скорость звуковых волн в воде ν2 = 1484 м/с..
В плоской звуковой волне, распространяющейся в воздухе со скоростью ν = 340 м/с, изменения давления отличаются на ∆p = ±1 дин/см2 от среднего атмосферного давления p = 1•106 дин/см2. Найти изменение плотности ∆ρ, сопровождающее распространение такой волны.
Зависимость фазовой скорости волны νфаз. от длины волны λ, распространяющейся по водной поверхности, $${ν_{фаз}} = \sqrt{gλ/2π}$$. Показать, что групповая скорость волны νгр. равна половине фазовой νфаз. Рассчитать групповую и фазовую скорости волны длиной λ = 1000 м..
По шнуру бежит незатухающая гармоническая волна, так что поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону у = A cos ωt. Найти закон изменения смещения точки А, расположенной на расстоянии х от точки О. Волна бежит от точки О к точке А с фазовой скоростью ν.
Гоночный автомобиль, включив сирену, мчится со скоростью ν = 306 км/ч. Частота колебаний звуковой волны сирены ν0 = 400 Гц. Впереди на обочине стоит другой автомобиль с точно такой же включенной сиреной. Каждый из водителей различает звук сирены другого автомобиля, потому что он выше, чем звук его собственной сирены. Определить, кто из водителей слышит более высокий звук. Фазовая скорость звука в воздухе ν = 340 м/с.
Показать, что выражение s = Aei(ωt-kx) удовлетворяет волновому уравнению $$ {{{d^2s}\over {{dx^2}}}={1\over{ν^2}}{{d^2s}\over {dt^2}}}$$ .
Сила звука I увеличилась в 1000 раз. Найти, на сколько увеличился уровень звукового давления Lp и во сколько раз увеличилась амплитуда звукового давления p. При нулевом уровне громкости амплитуда звукового давления p0 = 2∙10–5 Па. Порог слышимости звука I0 = 10–12 Вт/м2.
Найти изменение интенсивности I волны, если ее частота ν увеличивается в 2 раза при: а) неизменной скорости ν волны; б) неизменной длине λ волны.
Упругая волна s = A cos ω(t − x/ν) распространяется в воде. Определить среднее значение плотности энергии волны и волновой поток энергии через отверстие площадью S в экране, установленном параллельно плоскому фронту волны (S = 0,3 м3). Амплитуда A = 10−4 м; частота ν = 103 Гц; длина волны λ = 1,48 м.
Тема 7. Элементы релятивисткой и квантовой механики
В K–системе отсчета находится неподвижный стержень длины l0 = 1 м, ориентированный под углом α = 30° к оси Ox. Найти его длину l и соответствующий угол α в K'–системе отсчета, движущейся относительно K–системы со скоростью ν = 0,8с вдоль оси Ox.
Определите собственное время жизни частицы, если ее скорость ν отличается от скорости света в вакууме c на 0,2%, а расстояние, пролетаемое до распада, равно 300 км.
Два протона движутся навстречу друг другу со скоростями ν1 = 0,9с и ν2 = 0,8с относительно Земли. Определите их относительную скорость.
Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость электрона от ν1 = 0,6с до ν2 = 0,8с, где c - скорость света в вакууме. Определите относительную погрешность при вычислении работы, если использовать нерелятивистские формулы.
Определите потерю массы, происходящую при образовании одного киломоля воды, если реакция образования воды имеет вид:
Определите изменение энергии, соответствующее изменению массы на одну атомную единицу. Какому изменению массы соответствует изменение энергии на одну калорию?
Определите длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией : 1) K =100 эВ; 2) K = 3 МэВ.
Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,1 нм.
Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии φ = Аr –1e– r/a, где а – некоторая постоянная, r – расстояние частицы от силового центра. Определите нормировочную постоянную А и среднее расстояние частицы от силового центра.
Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии, волновая функция которого имеет вид φ(x) = A exp(–αx2), где A и α – постоянные (α > 0). Определите энергию Е частицы и вид функции U(x), если U(0) = 0
Электрон находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно fmax = 2•1010 м-1. Определите ширину l ямы, энергию Е частицы, вероятность нахождения частицы в первой трети ямы.
Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. На сколько высота барьера U0 должна быть больше энергии Е электрона, чтобы вероятность прохождения частицы через барьер была равна 0,5?
