Кинематическое уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси определяет зависимость угла поворота φ тела от времени t (рис. 6.1, ось вращения проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка)

Формула 6.1

Угловая скорость ω тела определяет быстроту изменения угла поворота и численно равна первой производной от угла поворота φ по времени t:

Формула 6.2

Угловое ускорение ε тела определяет быстроту изменения угловой скорости и, следовательно, оно численно равно первой производной от угловой скорости ω по времени t либо второй производной от угла поворота φ по времени t:

Формула 6.3

Угловые скорость и ускорение тела позволяют определить скорость υ и ускорение a любой точки этого тела, например точки А, движущейся по окружности радиуса R = OA:

Формула 6.4

где $$a^τ_A$$ и $$a^n_A$$ – касательное и нормальное ускорения точки А.

Момент силы F относительно точки О (рис. 6.2) определяет способность силы F вызвать вращение тела вокруг этой точки. Он равен векторному произведению радиус-вектора r точки А приложения силы F на вектор силы:

Формула 6.5

Модуль момента силы

Формула 6.6

где h = rsinα – плечо силы F, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы F (ЛДС). Направление вектора M₀ находится по правилу векторного произведения, которое согласуется с правилом правой руки, или правилом буравчика.

Момент силы F относительно оси z равен моменту ее перпендикулярной к оси составляющей F_⊥ относительно точки О, находящейсяся на оси z (рис. 6.3):

Формула 6.7

где h – плечо силы F_⊥ относительно точки О (заштрихованный треугольник расположен в горизонтальной плоскости); M_z – алгебраическое значение момента силы относительно оси z, которое равно проекции вектора М₀ на эту ось. Отсюда следует правило знаков для M_z: если, наблюдая с конца оси z, поворот под действием силы F_⊥ происходит против часовой стрелки (как на рис. 6.3), то момент M_z считается положительным, иначе – отрицательным.

В частном случае, если сила F параллельна оси z, то ее перпендикулярная проекция F_⊥ = 0 и, следовательно, момент силы F относительно этой оси равен нулю.

Моментом инерции I_z тела относительно оси z называют величину (см. лаб. раб. № 5)

Формула 6.8

где m_k – массы частиц, на которые мысленно можно разбить тело, а r_k – расстояния от этих масс до оси z (рис. 6.4).

Основное уравнение динамики вращательного движения, описывающее вращение твердого тела относительно неподвижной оси, имеет следующий вид:

Формула 6.9

где$$M^e_z$$ – суммарный момент внешних сил, действующих на тело.

Уравнение (6.9) можно рассматривать как аналог 2-го закона Ньютона для материальной точки, или уравнения, описывающего движение центра масс твердого тела, или, в частности, поступательного движения этого тела:

Формула 6.10

где m – масса тела; a_C – ускорение центра масс C тела; F^e – суммарная внешняя сила, действующая на тело.

Радиус-вектор центра масс (точки C) определяется соотношением

Формула 6.11

где r_k – радиус-векторы частиц, на которые мысленно можно разбить тело массой m.

Из сопоставления (6.9) и (6.10) следует, что, поскольку масса m во 2-м законе Ньютона является мерой инертности материальной точки, то момент инерции I_z является мерой инертности для вращательного движения тела.

Общий вид маятника Обербека изображен на рис. 6.5, a. На вертикальной стойке имеется подшипниковый узел, на котором укреплен двухступенчатый блок 4 с четырьмя стержнями 5, образующими крестовину. На стержнях 5 крестовины выполнены кольцевые выточки через 1 см друг от друга, первая из которых находится на расстоянии d₁ = 4 см от оси вращения, а последняя – на расстоянии 25 см. Они позволяют закрепить четыре передвижных груза 1 на заданном расстоянии d от оси вращения. На одну из ступеней блока 4 наматывается нить, перекинутая через блок 6, к ее концу прикреплена нагрузочная площадка 3. На стойке имеются нижний неподвижный 7 и верхний подвижный 8 кронштейны с фотоэлектрическими датчиками. Для измерения высоты h между датчиками на стойке нанесена миллиметровая шкала. При утопленной кнопке «ПУСК» и нажатой кнопке «СЕТЬ» нить наматывают на блок 4 до тех пор, пока нижняя плоскость площадки 3 с грузами 2 не окажется немного выше риски, нанесенной на верхнем кронштейне, т. е. выше светового луча фотоэлектрического датчика. После этого кнопка «ПУСК» отпускается, а тормозной электромагнит прижимает фрикционную муфту и удерживает маятник вместе с грузами в состоянии покоя. Следующее нажатие кнопки «ПУСК» освобождает маятник, и он начинает вращаться под действием нагруженной площадки 3. При пересечении площадкой 3 светового луча верхний фотоэлектрический датчик включает секундомер, шкала которого установлена на передней панели основания прибора. Площадка с грузами совершает поступательное, а маятник – вращательное движения. При пересечении площадкой светового луча нижнего фотоэлектрического датчика на кронштейне 7 автоматически выключается секундомер и включается тормозной электромагнит.

Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в подшипнике, можно воспользоваться формулами равноускоренного движения маятника из состояния покоя и получить формулу для косвенного измерения углового ускорения ε блока 4 с крестовиной:

Формула 6.12

где r – радиус использованной ступени блока 4; а – ускорение площадки 3; t – время, отсчитанное секундомером.

Проведем динамическое (теоретическое) исследование движения маятника Обербека, используя его схему (рис. 6.5, б), на которой крестовина не изображена. Воспользуемся 2-м законом Ньютона для площадки с грузами массой m = m₂ + m₃ (в проекции на направление движения) и основным уравнением динамики вращательного движения для блока 4 с крестовиной и грузами 1. Снова пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в подшипнике, получим систему двух уравнений:

Формула 6.13

где I_z – момент инерции крестовины с грузами; F и F₁ – силы натяжения правого и левого вертикальных участков нити.

Основное уравнение динамики для вращательного движения блока 6 имеет вид $$I^*_zε=(F^*−F^*_1)r^*$$. Инерционные свойства этого блока весьма малы по сравнению с крестовиной, т. е. $$I^*_z << I_z$$, что позволяет считать осевой момент инерции $$I^*_z ≈ 0$$ а значит, $$F^*≈F^*_1$$. Согласно 3-му закону Ньютона $$F = F^*$$ и $$F_1 = F^*_1$$. Следовательно, $$F_1 = F$$ , что позволяет исключить неизвестную силу натяжения нити из системы (6.13). Принимая во внимание кинематическое соотношение a = εr, можно получить теоретическое выражение для углового ускорения ε блока 4 с крестовиной (решите систему (6.13) и получите выражение для ε^(т) самостоятельно):

Формула 6.14