Для материальной точки массой m, движущейся со скоростью υ, кинетическая энергия K=mυ²/2, поэтому кинетическая энергия системы из N материальных точек с учетом ее аддитивности рассчитывается по формуле

Формула 7.1

При поступательном движении тела массой m все его частицы массой m_k, на которые мысленно можно разбить тело, имеют одинаковые скорости, равные скорости центра масс (υ_k=υ_C). Следовательно

Формула 7.2

где m=∑m_k – масса тела.

При вращательном движении тела все его частицы массой m_k движутся по окружностям радиуса r_k (рис. 6.4). Скорости этих частиц рассчитываются по формуле υ_k=ωr_k (ω – угловая скорость тела (см. лаб. раб. № 6)). В результате из формулы (7.1) следует, что

Формула 7.3

где I_z=∑m_kr_k² – момент инерции тела относительно оси z.

Для консервативных сил, работа которых не зависит от формы траектории движущейся материальной точки, можно ввести понятие потенциальной энергии этой точки в силовом поле. Эта энергия по определению равна работе А консервативной силы, которая выполняется при переходе материальной точки из произвольной точки Р с координатами x, y, z на нулевой уровень О, где потенциальная энергия П полагается равной нулю, т. е.

Формула 7.4

Примеры вычисления потенциальной энергии.

Потенциальная энергия материальной точки массой m в поле сил тяжести.

На точку массой m на высоте h = z со стороны поля действует сила тяжести F_T=mg (рис. 7.1). Скалярное произведение для элементарной работы δA=Fdrв формуле (7.4) запишем в координатной форме:

Формула 7.5

В этом примере проекции F_x и F_y для силы F_T равны нулю, а F_z=-mg. Нулевой уровень О для потенциальной энергии выберем при z = 0, т. е. на горизонтальной плоскости xy. В результате с помощью (7.4) получим

Формула 7.6

Потенциальная энергия сил упругости.

В соответствии с законом Гука сила упругости F_упр деформированной пружины пропорциональна ее абсолютной деформации x=Δl=l-l₀ (рис. 7.2), l₀– длина недеформированной пружины, тогда ее проекция

Формула 7.7

где k – коэффициент жесткости пружины.

Из определения (7.4) найдем

Формула 7.8

Здесь нулевой уровень выбран в положении, которое соответствует недеформированной пружине длиной l₀, т. е. в точке О.

Потенциальная энергия гравитационного поля.

Сила всемирного тяготения (гравитации) определяется по формуле F_гр=γm₁m₂/r², γ – гравитационная постоянная; r – расстояние между точечными массами m₁ и m₂.

Выполняя расчеты, будем считать, что точка массой m₁ неподвижна, а точка массой m₂ движется (рис. 7.3). Далее учтем, что, поскольку работа консервативных сил не зависит от формы траектории, то наиболее удобно провести интегрирование вдоль радиального направления (т. е. оси r), выбрав нулевой уровень на бес-конечности (П(∞) = 0). В результате получим

Формула 7.9

Если на систему материальных точек и (или) тел действуют диссипативные силы, то для этой системы механическая энергия Е = К + П будет изменяться. Изменение механической энергии определяется работой A_дис диссипативных сил:

Формула 7.10

Работа диссипативных сил, т. е. сил трения и сопротивления, отрицательна, поэтому энергия Е уменьшается, превращаясь в тепловую энергию, которая рассеивается в окружающей среде, т. е. имеет место диссипация энергии.

Если на систему действуют только консервативные силы (внешние и внутренние), т. е. A_дис=0, из (7.10) следует, что механическая энергия сохраняется (Е = К + П = const). Это утверждение называют законом сохранения механической энергии.

Маятник Максвелла (рис. 7.4, а) представляет собой массивный диск 1 на оси 2, подвешенной на двух нитях 3, которые закреплены на неподвижном верхнем кронштейне 4 (бифилярная подвеска). При вращении диска 1 нити наматываются (или разматываются) на ось, которая при этом движется поступательно в вертикальном направлении. Подвижный кронштейн 5 можно перемещать вдоль вертикальной стойки, на которую нанесена миллиметровая шкала для установления заданного расстояния h₁ между кронштейнами. В кронштейнах 4 и 5 находятся фотоэлек-трические датчики. Ворот 6 используется для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника, а элек-тромагнит 7 – для удержания маятника в верхнем положении.

Для изменения момента инерции маятника на диск 1 накладываются кольца разной массы. Время падения измеряется с помощью секундомера 8.

Если поднять маятник в верхнее положение и отпустить его, то под действием силы тяжести ось Cx маятника начнет опускаться (рис. 7.4, б). Пренебрегая силами сопротивления воздуха и неупругой деформацией нитей, можно воспользоваться формулами равноускоренного движения и получить расчетную формулу для косвенного измерения скорости оси, т. е. центра масс С маятника в его нижнем положении (после опускания на высоту h₁):

Формула 7.11

С другой стороны, пренебрегая диссипативными силами (со-про¬тивлением воздуха и неупругой деформацией нитей), можно использовать закон сохранения механической энергии. В верхнем положении маятник массой т обладает потенциальной энергией П = mgh. Перемещаясь на расстояние h в нижнее положение, потенциальная энергия маятника переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений. Приравнивая механическую энергию в верхнем и нижнем положениях маятника, получим

Формула 7.12

Угловая скорость ω диска маятника связана со скоростью его поступательного движения, т. е. со скоростью υ_C его центра масс ( ω=υ_C/R_o, где R_o – радиус оси). После подстановки ω=υ_C/R_o в формулу (7.12) получаем теоретическую формулу для скорости центра масс маятника:

Формула 7.13

Используя свойство аддитивности, находим массу и осевой момент инерции маятника по следующим формулам:

Формула 7.14

m_o, m_д, m_к и R_o, R_д, R_к – соответственно массы и внешние радиусы оси, диска и кольца.

Полностью избавиться от действия неконсервативных сил со¬противления и неупругой деформации нитей в любой реальной меха¬нической системе практически невозможно. Действие этих сил приводит к частичной потере механической энергии и пре-вращению ее в теплоту (диссипация, т. е. рассеяние энергии в ок-ружающей среде). Потери механической энергии маятника можно оценить, наблюдая за его дальнейшим движением после достижения нижнего положения. Диск, вращаясь по инерции в прежнем направлении, приводит к наматыванию нити в направлении, противоположном начальному. В результате происходит подъем маятника. В идеальном случае (при отсутствии диссипации) максимальная высота h₂ подъема была бы в точности равна первоначальной высоте h₁. Практически на опыте маятник поднимается на меньшую высоту h₂=h₁-Δh₁₂. Таким образом, потеря механической энергии за время опускания и подъема равна mgΔh₁₂, а за время опускания она равна половине этой потери, т. е. mgΔh₁₂/2. Поэтому, если в формуле (7.13) используем значение h=h₁, то получаем завышенное значение теоретической скорости υ_C^(т) по сравнению с ее истинным значением. Для учета этой систематической погрешности нужно в левой части уравнения (7.12) использовать только ту часть потенциальной энергии, которая фактически превращается в кинетическую энергию маятника, поэтому надо положить

Формула 7.15

Совпадение значений скорости υ_C, рассчитанных по формулам (7.11) и (7.13) с учетом (7.15), будет свидетельствовать о выполнении закона сохранения механической энергии, который был использован при выводе формулы (7.13).